頭の体操‐命題論理‐

突然ですが，
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「ＡはＢである。」という前提が正しい場合，

１「ＢならばＡである。」
２「ＡでないならばＢでない。」
３「ＢでないならばＡでない。」

「Ａ」「Ｂ」に何が入っても正しいといえるのは，
上の１～３のうち，どれでしょうか？
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わかりにくいので，
「Ａ」「Ｂ」に具体例を入れて考えてみましょう。

たとえば，

「Ａ」＝「私」
「Ｂ」＝「α会社の現社長」

とします。

そして，
各選択肢の主語を「それが」にしましょう。

すると，

「私はα社の現社長である。」という前提のもと，
１「（それが）α社の現社長ならば私である。」
２「（それが）私でないならばα社の現社長でない。」
３「（それが）α社の現社長でないならば私でない。」

という選択肢になります。

一見すると，どれも正しいように見えます…。
「α社の現社長」は世の中に一人しかいない
という前提があります。

詳しくみてみると…
１「α社の現社長」は「私」一人しかいないので，正しいでしょう。
２「私」以外に「α社の現社長」はいないので，これも正しいでしょう。
３「α社の現社長」でない「私」はいないので，これも正しいでしょう。
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では，次に別の例を考えてみます。

「Ａ」＝「私」
「Ｂ」＝「男」

としてみましょう。

すると，

「私は男である。」という前提となり，
１「（それが）男ならば私である。」
２「（それが）私でないならば男でない。」
３「（それが）男でないならば私でない。」

となります。
この場合，
「男でなければ女」「女でなければ男」という前提があります。
（厳密にいえば中間的な立場もありますが…）

一見すると，すべて正しいような気もしますが，

よく考えてみると，
１「男」の中には「私」ではない人もいるので，１は正しくない？
２「私」以外の中にも「男」の人はいるでしょうから，２も正しくない？
３「男」でなければ「私」である可能性はないので，３は正しい？

少し混乱してきました…。
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さらに，
他の例も考えてみましょう。

「Ａ」＝「犬」
（玩具の犬や揶揄的な意味の「犬」は除くことにします…）
「Ｂ」＝「動物」

とします。

すると，

「犬は動物である。」という前提となり
１「（それが）動物ならば犬である。」
２「（それが）犬でないなら動物でない。」
３「（それが）動物でないなら犬でない。」

となります。

余計わかりにくくなった気もしますが…

１「動物」には「犬」以外のものも多くあるので，１は正しくない。
２「犬」でなくても「動物」である可能性はあるので，２も正しくない。
３「動物」でない「犬」はいないので，３は正しい。
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まだわかりにくいので，
もっと極端な例にしてみましょう。

「Ａ」＝「地球」
「Ｂ」＝「丸い」（ということにしましょう…）

すると，
「地球は丸い。」という前提となり，
１「（それが）丸ならば地球である。」
２「（それが）地球でなければ丸ではない。」
３「（それが）丸でなければ地球でない。」

１「丸い」ものは「地球」以外にもあるので，正しくない。
２「地球」でなくても「丸い」ものはあるので，正しくない。
３「丸」くない「地球」（三角や四角）はないので，正しい。

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いろいろ見てきましたが，

結局，

３　だけが，

「Ａ」「Ｂ」に何が入っても正しい結果となります。

このように，

「ＡならばＢ」という命題に対して

「ＢならばＡ」を「逆」

「ＡでなければＢでない」を「裏」

「ＢでなければＡでない」を「対偶」

と呼びます。

命題の真偽とその「対偶」の真偽は必ず一いたしますが，
「逆」や「裏」は必ずしも命題の真偽と一いたしません。

このことから，
「ＡならばＢ」という命題が正しいかは，
その「対偶」（「ＢでないならばＡでない」）
が正しいか否かを考えれば分かることになります。

たとえば，
「犬ならば空を飛べる。」という命題の真偽を確かめるには，
「空を飛べないなら犬ではない。」
という命題が真かを考えればよいことになります。

この点，空を飛べなくても犬ですので，
「犬は空を飛べる。」という命題は正しくない，ということになります。

また，
相手の主張に対して反論する視点として，
相手の主張が，ある「前提」の「逆」や「裏」の関係にないか。
あるとすれば，「前提」の真偽と一致しない可能性はないか。
…と考えることができます。

以上，命題論理を使った頭の体操でした。。。